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一、证明题

1． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

2． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意

并在方程两边同时积分

又

则

则由正交归一化条件有

有

考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为

试证明这两个波函数对应的态矢正交.

是束缚态的波函数，

因而有：

态矢为态矢为

即

Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即

亦即两个波函数对应态矢正交.

二、计算题

3． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

4． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量

本征值为

因此定态方程

t 时刻，电子波函数满足：

因为

故：

所以：

其中，为自的解为：

的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。

5． 氢原子处于状态

（1）求轨道角动量的z 分量的平均值。 （2）求自旋角动量的z 分量的平均值。 （3）求总磁矩【答案】⑴

的z 分量

6． —自旋中的矩阵为

（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数

的粒子的哈密顿算符

为实常数。

确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求

和

的几率。 时波函数为

其中

及能量£

、动量

已知

时，

其中，

，

在表象

的平均值。

（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知

是的本征值

与自旋的平均值：【答案】（1

）

的本征函数，求任意时刻的波函数

本征方程

为若

设

即需

解

方程有非零解，则必有

可得：

因此：