2017年山东大学晶体材料研究所829量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
2． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
同理，有:
因此，有：
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为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
利用类似的方法，可得：
因此，有：
综上所述，可以得到
也即
故为体系守恒量，得证。
二、计算题
3． 自旋在
方向的粒子，磁矩为
置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
积分后得：
取t=0时刻的初始条件为则:
式中，
围绕极轴转动，相
由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度
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当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。
图
4． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
证明：若f 是
的共同本征
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
（b ）
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
可得
则的本征态为
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