2017年山西师范大学951高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
不是当时的无穷小。
2． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成
，代入
，令
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，因，
则
且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
则
。又令，有，
将
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
代入上式，
，解此方程组，得故在变换下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
即
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得将
3． 计算下列三重积分：
。
，其
中所围立体。
为
由
，其中
体。
为由所围立
，其中为由所围立
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体。
【答案】（1）由于积分区域为
关于
平面对称，
则令
，
，则
（2）积分区域可分为两部分，利用球面坐标得
（3）积分区域关于平面对称，则令是在第一象限的部分，则
（4）积分区域为图中所围立体，则
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