题目：多项式动力系统渐近稳定性分析

  动力系统在交通运输、航空调度、工程技术等诸多领域具有十分广泛的应用背景，特别是工程、力学、物理等领域存在大量动力系统模型，近几十年来是一大研究热点。而稳定性是动力系统最基本也是最重要的性能之一，是对动力系统进行分析要首先考虑的问题。

  本文的研究对象是含有参数的多项式动力系统，目标是得到一个基于Lyapunov方程的方法，该方法通过实根分类算法，计算系统具有给定个数的平衡点时，参数需要满足的充分条件。首先本文概括了动力系统、稳定性、计算工具等几个方面的概念和要点，列举了最新的研究成果，以及在下文中需要用到的理论。然后提出了基于Lyapunov方程的多项式动力系统渐近稳定性的分析方法，并给出方法的详细证明和计算步骤。该方法分为线性化，构造关于平衡点的半代数系统，基于实根分类算法求解这三个主要步骤，其中半代数系统包括平衡点方程、Lyapunov方程和矩阵的正定性检验不等式三部分，计算得到的结果是由参数构成的一系列解析不等式，即为原系统有给定个数的渐近稳定平衡点时，参数需要满足的充分条件。此方法同样能应用于计算给定平衡点渐近稳定时，参数需要满足的充分条件。最后，我们在实例验证部分用4个例子验证本文方法的可行性，并同时通过基于赫维茨判据的方法进行计算，并对两种方法进行比较。结果显示本方法应用在低维多项式系统是可行的，并且有简单且易于操作的步骤，与符号计算相结合使得结果准确可靠，这给多项式动力系统的渐近稳定性分析提供了一种新的思路。