2017年浙江大学地球科学学院601高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由曲面
及
所围成的立体的体积。 【答案】
由消去Z ，
得
，
故所求立体在
区域为
（图）
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差
图
2． 设函数y=y（x ）由方程
所确定，求y ’’（0）。
【答案】把方程两边分别对x 求导，得， 将x=0代入
得y=1，再将x=0，y=1代入（1）式得
在（1）式两边分别关于x 再求导，可得 将
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面上的投影
（1）
（2）
代入（2）式，得。
3． 设有质量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动（如图所示）
。设摩擦系数
, 问力F 与水平线为多少时, 才可使力F 的大小为最小。 【答案】如图所示, 力F 的大小用
表示, 则由
设令又
的最大值点, 这时, 即, 得驻点
, 则
,
所以驻点
为极大值点, 又驻点惟一,
因此
时, 力F 的大小为最小。
为函数
知
图
4． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
及
及
及
。
和，于是
因此
（用极坐标）
解法二：用“先重后单”的积分次序求解。 对固定的z ，当0≤z ≤2时，
，于是 （图1）
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及
；
（含有z 轴的部分）
【答案】（1）解法一：利用直角坐标计算。由
，即在xOy 面上的投影区域D xy 为
消去z ，
解得
当2≤z ≤6时，
图
1
（2）解法一：利用球面坐标计算，球面方程分别为
和
，故
（图2）
及圆锥面
的球面坐标
图
2
解法二：用“先重后单”的方法计算
由
和
解得z=a，对固定的z ，当0≤z ≤a 时
，
当0≤z ≤2a 时，
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。
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