2017年西华师范大学综合数学(同等学力加试)之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
证明：
【答案】
2．
设
雒欧氏空间的两个线性变换
都有【答案】由题设
任给则
令
在
的基
下的矩阵分别是A 和B ，证明
：
则存在正定矩阵P ，使
同理
令基
的度量矩阵为
则
同理
因故
考虑
3． 设
的任意性，并结合
与
均为对称矩阵知
表示成一个对称双线性函数与一个
. 是线性空间V 上的双线性函数，试将
反对称双 线性函数之和，并证明表示法唯一.
【答案】令
直接验证可知g 是对称双线性函数，h 是反对称双线性函数，且这里
为对称双线性函数，
为反对称双线性函数. 于是
得
代入式（10-4），得
4． 设A 为
正定实对称矩阵，S 为
实反对称矩阵，试证：行列式
由
只
下证唯一性. 若
【答案】由A 是正定矩阵，存在实可逆矩阵P ，使
要证明
则
且纯虚数成对出现，设为
事实上：由
是实反对称矩阵，则其特征值为0和纯虚数，这里
于是
5． 设
为复数域上全体n 元向量作成的集合.
作成实数域上2n 维空间，并且
为其一基（i 是虚单位）. ②求
中向量
在此基下的坐标.
使
则得故又显然（请留意
②故
在基
从而
线性无关.
中每个向量都可由是复数域上的n , 维空间）.
均为实数），则显然
之下的坐标为
线性表示，因此它是
的一基，
的维数是2n
【答案】
作成实数域上线性空间显然. 又若有实数
的特征值为
故
①证明：
6． 设A 为数域F 上的
【答案】因为
矩阵，其秩为r , 试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：所以存在m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q , 使
首先，如即
则有
令
则式（1）等价于所以
其次，由式（2）, 直接验证可知
这里B 为r 阶方阵.
则
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