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一、分析计算题

1． （1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的；

（2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基. 【答案】（1）设别是A ，B. 再设由

对

则

设

于是

（2）设V 是一个n 维欧氏空间，任取V 的一组基是A. 因为A 是正定矩阵，因此有可逆矩阵C 使

以C 为过渡矩阵，得到V 的另一组基

2． 求一个次数最低的实系数多项式，使其被

【答案】方法1由题设，令显然所以可以验证，

确实是被

除余

的多项式.

使

于是应有设所以

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及到

是欧氏空间V 的两组基. 这两组基的度量矩阵分的过渡矩阵是C.

那么设

所以不同基下的度量矩阵

的度量矩阵是合同的.

而且的度量矩阵为E.

所以

是V 的一组标准正交基. 这说明任一欧氏空间都有标准正交基.

除余

被

除余则存在多项式

为求最小次数的从而

令n ，

取

得

即

使

方法2同解法1, 有多项式

是

则可设

的倍式，

比较两边同次项系数得

即为所求.

3． 设矩阵

（1）问是否存在X ，使得（2）将（1）的结论给予推广. 【答案】（1）由

得A 的特征值为0，27，-27. 注意到A 是实对称矩阵，存在正交矩阵U ，使得

令

事实上. 由于存在正交矩阵U ，使得

若存在，求出X ；若不存在，请说明理由.

（2）若A 是实对称矩阵，则存在X ，使得

这里都是实数. 注意到实数总能开立方，设.

则

这里

令

4． 设线性空间

对于任意取定4个不同实数

证明：

构成V 的一组基，并求【答案】设

将代入上式，注意到

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的对偶基.

得

线性无关. 由是V 的基. 设

为

在点的取值函数：

则线性函数满足

故.

是

的对偶基.

5． 设f （X ，Y ）为定义在数域P 上的n 维线性空间V 上的一个双线性函数，证明：

可以表示成两个线性函数

积的充分必要条件是f （X , Y）的度量矩阵A 的【答案】设f （X ，Y ）在基

若

下的度量矩阵为

故

故

则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积，设

则

故线性函数 为所求

.

若

则

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