2017年南开大学数学科学学院845高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设则3条直线
（其中
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则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性相关，故选D.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
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【答案】B 【解析】
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
考虑到
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设A 、B 分别为数域P 上一个秩为 的 矩阵和 矩阵，令AB=C.证明：如秩A=r，则数域P 上存在 矩阵D , 满足对于数域P 上任何n 阶方阵Q ，有 的 矩阵D , 满足 有A （DQ+B） 【答案】由于AB=C, 欲证存在秩为 =C，即 ADQ=0. 因为r （A ）=r, 所以存在m 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵R , 使 取 这里 则 有 7． 与 同上题， 是任意n 个数，显然 适合条件求： （1）一个次数 的多项式 它适合条件：它在 使得根 据 拉 格 朗得 第 4 页，共 41 页 这称为拉格朗日（Lagrange ）插值公式. 利用上面的公式 日 插 值 公 式 ， 由 （2）一个二次多项式. 【 答 案 】（ 1 处与函数sinx 有相同的值. （3）一个次数尽可能低的多项式 ）