2017年福建农林大学林学院610高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
在约束条件C
：
，
故
，
模
在约束条件C
：
，曲线C ：
，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
得到因此
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
2． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
【答案】（1）又
，故
（2）
在x=0处不可导。
，故函数在x=0处连续。
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。
故在x=0处连续。
又
故函数在x=0处可导。
3． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点, 最小值。
4． 求函数
【答案】解方程组
求得驻点又
由判定极值的充分条件知，在点
处，函数取得极小值
5.
求函数
答:条件由
在适合附加条件
可表示成，得
下的极大值。 ，代入。又
由一元函数取得极值的充分条件知，
为极大值点，极大值为
，则问题化为求
的极大值。
。 , 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
的极值。
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5． 利用函数的微分代替函数的增量求
【答案】利用
6． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）确定。
【答案】（1）
，其中闭区域
，其中由不等式
是由球面
所围成的闭区域；
所
的近似值。
，取x=0.02，得
（2）在球面坐标系中，不等式为亦即
。因此
，
即
可表示为
（图）
；
变为
，即
，
即
变
，
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