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一、简答题

1． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

2． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

3． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

4． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

时有确定的测值。

5． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

6． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

7． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

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依题意

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

8． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

二、证明题

9． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

10．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

所以

三、计算题

11．分别在【答案】（1

）在

故：令

因此有：由可得：

有：

因

是厄米算符，

有

所以

即a 、d 为实数

，

表象中，求出表象中

的矩阵表示，并求出由

表象到

知

表象的变换矩阵。的本征值为±1，

应为对角矩阵，对角元为的本征值，由

所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。

由

而

所以

有：

取

则：

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取（2）在

则（比较在表象中，

再求得

最后求得

表象中，方法同上。先令

表象到

表象的变换矩阵。

设其基矢为

（3）下面求由的本征值为：求

的本征矢，对于本征值有：

再归一化，得：对于本征矢

可得：

所以，变换矩阵为：取

12．一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

有：

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

二级修正能量

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