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一、简答题

1． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数

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态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

为

2． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

3． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

4． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

5． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

6． 写出泡利矩阵。 【答案】

7． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

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为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

8． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

二、证明题

9． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

10．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

（常数），

同理，可得

因此：

所以有：

试证明

的不确定关系

：

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

三、计算题

11．取上表达式中

为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场

均为常数，且

利用波函数的归一化

由

可得，

代入可得基态能量

12．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

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中的基态能量. 以

【答案】试探波函数从而

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

是体系总自旋平方的本征态.

很容易求得

的本征值与本征矢：

的本征方程

（2）

的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中

13．氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z

分量（3）求总磁矩【答案】⑴

的平均值。 的z 分量

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的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

故

是的本征态.

（2）求自旋角动量的z

分量的平均值。

的平均值。