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一、计算题

1． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.

【答案】设事件

为“恰好结成n 个圈”，记

又记事件B 为“第1根绳子的两个头

容易看出

所以得递推公式

由此得

2． 设

与

是从同一正态总体

独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量且相互独立, 所以

于是有

等价地,

最后结果表明, 只要样本容量n 多14. 就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差的可能性不大于0.01. 这意味着, 只要样本容量较大, 两样本均值的距离不超过的可能性是很大的, 可达0.99.

3． 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？

【答案】（1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：

所以得

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相接成圈”，则由全概率公式得

n , 使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01.

【答案】由于

（2）若采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：

=“前三局甲胜”，

=“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜”，

=“前四局甲乙各胜二局，第五局甲胜”， 所以得

所以五局三胜制对甲更有利.

4． 口袋中有7个白球、3个黑球.

（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放人一个白球，此时X 的概率分布列如何. 【答案】X 为首次取到白球的取球次数，则X 的可能取值为1，2，3，4. 记出的球为黑球”，i=1，2，…，10.

（1）由乘法公式可得

将以上计算结果列表为

表

1

（2）如果取出黑球不放回，而另外放入一个向球，则由乘法公式得

将以上计算结果列表为

表

5． 有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到五个房间中的任一间中，试求：

（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率.

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为“第i 次取

【答案】“三个人分配到五个房间”的所有分法数为房、都在四号房、都在五号房，共5种可能. 所以

这是分母.

（1）因为事件A=“三个人都分配到同一个房间”包括：都在一号房、都在二号房、都在三号

（2）若事件B=“三个人分配到不同房间”发生，则第一个人可分配到五个房间中的任一间，而第二个人只可分配到余下的四个房间中的任一间，第三个人只可分配到余下的三个房间中的任一间. 因此事件B 有

种可能，所以

注：可将此题看成是3个（可辨的）球放入5个（可辨的）盒子中的盒子模型. 6． 设试找出

【答案】

独立同分布服从

与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记

。

记

取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为

其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:

于是

的联合密度函数为

, 第二行为

由此,

独立同分布于

且

令

则

而

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