2017年西华师范大学概率论(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
相互独立，且
试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.
2． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则
所以
其中
1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）
（1）第2轮确定由谁来付账的概率为
（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为
3． 设随机变量X 的密度函数为
试求下列随机变量的分布：【答案】（1）因为单调増函数，其反函数为
，且的可能取值区间为（-3，3）
且
所以
在区间（-1，1）上为严格的密度函数为
（2）因为，且的可能取值区间为（2，4）
且
所以
在区间（-1，1）上为严格单调的密度函数为
减函数，其反函数为
（3）因为而当0 1）1），的可能取值区间为（0，所以在区间（0，外，的密度函数为的分布函数为 上式两边关于y 求导，得 即 这是贝塔分布Be （3/2，1）. 4． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率. ，所求概率为 【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则X 〜b （3，0.1） 5． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？ 【答案】 均匀硬币正面朝上的概率 , 据题意 选取次数n 应满足 此式等价于 , 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界 再由不等式 可得粗糙的估计 即抛均匀硬币250次后可满足要求. 标准差是之间的概率的下界. 试利用切比雪 6． 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是夫不等式估计每升血液中的白细胞数在 至设 为n 次抛硬币中正面朝上的次数, 则有 【答案】记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知 所以由切比雪夫不等式得 7． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵. （1）（2） 【答案】（1）因为 可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知 所以 由此得（X , Y ）的协方差矩阵为 （2）利用 的对称性可得 所以 又因为 所以 由此得 的协方差矩阵为 8． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则 所以 又因为
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