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一、计算题

1． 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.

【答案】记X 为掷4次中点数6出现的次数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4. 由确定概率的古典方法得

将以上结果列表为

表

由以上的计算结果也可以看出：出现0次6点的可能性最大.

2． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为

所以由概率的加法公式

得

当n 较大时，上式右端近似于

3． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.

n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.

4． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间（

）？

【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为

若取

则

拒绝域为

由样本观测值计算得：

因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.

5． 设X 服从泊松分布，且已知P （X=l）=P（X=2），求P （X=4）.

【答案】由

6． 设随机变量

【答案】（1）（2）

（3）因为

所以由题设条件

进

而有（c-3）/2=0.由此得c=3.

7． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率拒绝的概率不超过0.05, 而当案.

【答案】此类检验问题的拒绝域为：受概率

满足如下不等式组

由于批量N=50不太大，因此应该用超几何分布计算接收概率L （p ）:

样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对的

得从中解得X=2，由此得

（1）求（2）求（3）确定c

使得

时

时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方

. 因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接

通过编程搜索可以找到，当n=ll，c=l时，

c ），可以满足要求，于是检验方案为（n ，它表示在抽取11件产品检查其中的不合格品件数>1，则拒受该批产品，否则接受.

8． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）：

日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 盂加拉国 巴基斯坦 4 6 9 15 23 31 36 65 77 88

. 求以M 表示1996年1000个新生儿中的死亡数的中位数，试检验：检验的p 值，并写出结论.

【答案】作差

发现正数的个数为

. 从而检验的p 值为

p 值大于0.05，不拒绝原假设，即可认为中位数不低于34.

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

的特征函数, 由唯一性定理知

10．设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

, 且X