当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾客的消费额（元）服从（20, 100）上的均匀分布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求:

（1）该餐厅每天的平均营业额；

（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率. 【答案】记

为第i 位顾客的消费额, 则

, 所以

而该餐厅每天的营业额为

（1）该餐厅每天的平均营业额为

（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得

这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为0.90.

2． 设

独立同分布, 服从以下分布, 求相应的充分统计量:

已知:

未知:

, .

；

（1）负二项分冇（2）离散均匀分布:（3）对数正态分布:（4）瑞利（Rayleigh ）分布:

【答案】（1）样本的联合密度函数为:

其中

由因子分解定理知

是充分统计量.

（2）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

是充分统计量.

（3）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

（4）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知

3． 试问下列命题是否成立？

（1）（2）（3）（4）

（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：

（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是

来简化事件.

.

是充分统计量.

是充分统计量.

【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得

4． 从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l

【答案】从n 个数中任取2个，共有当于将1，2, …，n 分成三组：

于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有于是所求概率为

5． 设

种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k 相

种取法.

为来自b （1，p ）的样本，试求假设

利用微分法，在上p 的MLE 为

的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为

【答案】样本的联合概率函数为

通过稍显复杂的求导可知，当

时，

为的严增函数，而当

时，

关于的

为的严减函数（对此性质，也可以画出

，从而拒绝域

图形看出）

这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值

由显著性

水平确定.

6． —本500页的书共有500个错误，若每个错误等可能地出现在每一页上（每一页上至少有500个印刷符号）. 试求指定的一页上至少有三个错误的概率.

【答案】设X 为指定一页上错误的个数，贝U

且p=l/500.所求的概率为

利用二项分布的泊松近似，取

于是上述概率的近似值为

7． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为

表

试求联合分布列中的a , b , c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:

表

由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:

由此得c=1/6.

从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性