2017年上海理工大学理学院831高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． （1）对
（2）设数列（3）求
，证明不等式满足。
则由
，且
证明
收敛；
【答案】（1）令
即
（2）已知
，则由
即
有界，又由①式与②式有
即由
单调。 单调有界
收敛。 ，
因
时
由
令，因此，
，
取极限得。
（3
）记
，又由①式，若
2． 下列周期函数f （x ）的周期为2π, 试将f （x ）展开成傅里叶级数，如果f （x ）在的表达式为：
【答案】（1）
上
由于
是奇函数，故
因为f （x ）满足收敛定理的条件且在
内连续，故
（2）
故
用分部积分法得
F （x ）满足收敛定理的条件，而在
处不连续，故
（3）
在上式右端第一个积分中令
故
同理，
F （x ）满足收敛定理的条件，而在
处不连续，故
3． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将
代入上式。得
即原方程的通解为
即
则且原方程化为一阶线性方程
有初始条件
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