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一、简答题

1． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

2． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

3． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

4． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

5． 写出泡利矩阵。 【答案】

6． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

7． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

8． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

9． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

10．波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻附近

体积元中粒子出现的几率密度。

二、计算题

11．设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

几率为1，能量的平均值为

几率为1，其平均值为

12．一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为

其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？

（3）求t 时刻的波函数

满足归一化条件.

（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的

【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为

由归一化条件有

（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为

解得

.

故粒子可能测得能量即

测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为

13．在自旋态【答案】

下，求在自旋态j

下：

所以有：