2017年华中师范量子力学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；
（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为
在s 波情况下，令则（2）
故对应波函数为
其中A 为归一化系数. （3）概率概率流密度公式为球坐标系中
明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为
而
故
同理
2． 粒子在势场作【
答
案
】
利
用
波
函
数
的
由重新代入
得：
表达式，得：
的微扰作用，求体系激发定
归
一
化
公
式
中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
故基态能量的上限为：
3． 平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到态能量的一级近似。
【答案】受到微扰之前，系统波函数为对于所有激发态能级，其简并度为二.
设容易得到则
于是有方程
再由久期方程
对应能量为
对应零级近似波函数为
解得:
故体系激发态定态能量的一级近似为：
即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。
4． 验证球面波
满足自由粒子的薛定谔方程：
（注：【答案】
故
其中
代表仅与角度有关的微分算符）
则
故
由（1）（2）（3）式可得
5． —体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
此即所需证明方程.
现在受到微扰
的作用，
微扰矩阵元为
和c 都是实数. 用微扰公式求