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北京大学1996年研究生入学考试试题

考试科目：计算机数学基础 招生专业：计算机软件，应用，理论 指导教师：

试题：答案必须写在答题纸上，写在试题纸上无效

一．（共31分）

1．（5分）设f(x)有连续的导数，y = 考试时间：2月4日上午 研究方向： ∫x

0f (t −x ) dt ，求dy 。 dx

d n n x 3．（5分）将n (x e ) 展开成x 的幂级数。其中n 是一个正整数。 dx

4．（7分）证明广义积分

5．（7分）求心脏线

三．（14∫∞0ln x dx 收敛，并求它的值。 1+x 2r =a (1+cos θ) a>0 的水平切线的方程。 f :A →B 导出的A 上的等价关系定义为分）由

R ={x ∈A ∧f (x ) =f (y )}。

设f 1, f 2, f 3, f 4∈N 且f 1(n ) =n (∀n ∈N )

f 2(n)=

1 0 n 为奇数 n 为偶数 N

f 3(n ) =j , n =3k +j , j =0,1, 2, k ∈N

f 4(n ) =j , n =6k +j , j =0,1, 2, ……，5， k ∈N R i 为f i 导出的N 上的等价关系，i=1,2,3,4;

1．求商集N/Ri ，i=1,2,3,4；

2．画出偏序集<{N /R 1, N /R 2, N /R 3, N /R 4,},≤>的哈斯图，其中≤为划分之间的加细关系。

3．求H ={10k k ∈N }在f 1, f 2, f 3, f 4下的像。

五．（10分）

1．求下列各同态映射的同态核，并指出哪个是同构映射：

（1）设G 为一个群，ϕ1:G →G , ∀x ∈G , ϕ1(x ) =e ，其中e 是G 的单位元，且G 中至少有2个元素。

（2）设G ＝为整数加群，ϕ2:Z →Z , ∀n ∈Z , ϕ2(n ) =

2n ;

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