2017年淮北师范大学数学科学学院821高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
2． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
（4）
（5）先在等式两端分别取对数，得
，于是
3． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
，再在所得等式两端分别对x 求导，得
。
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
4． 验证下列求这样的一个
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
在整个xOy 平面内是某一函数的全微分，并
（3）在整个xOy 面内，且
则有
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
和
具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，且分。取
则有
和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微
解法二：（偏积分法）因函数
满足
故
其中
是y 的某个可导函数，由此得
又
必需满足
从而得
（C 为任意常数）。因此
取C=0，就得到满足要求的一个
。
解法三：（凑微分法）利用微分运算法则直接凑出