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一、解答题

1． 设B

是

（I

）证明（II

）证明（III

）若【答案】⑴

（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

矩阵

且A 可对角化，

求行列式

逆

其中E 是n 阶单位矩阵.

使或1.

2． 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

若

求行列

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

又

故

即

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所以即

而

故

3

． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明

[!

【答案】（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形

；

且秩

的值.

即或

贝

因为A

是

是正定矩阵，

并求行列式

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

实对称矩阵，所以必可对角化，且秩

于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（

n-k

个）

. 故二次型

（Ⅱ）因为

4． 已知

与

故

的规范形为

所以矩阵B 的

特征

值是：

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且

相似. 试求a

, b ,

c 及可逆矩阵P ，

使

【答案】由于故B 的特征值为

从而B 可以对角化为

分别求所对应的特征向量，得

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令

有

即a=5.

由得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

记

有

.

因此

即

则P 可逆，

且

二、计算题

5． 设AP=PA,

其中

求

【答案】

因

故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA

得

有因于是

是三阶对角阵，

故

并且记多项式