2018年甘肃农业大学动物科学技术学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】AB 两项，由于A
为正交矩阵交矩阵.
C 项，由于A 为正交矩阵
，D 项
，
当
故所以
.
又
也为正交矩阵.
时，kA 不是正交矩阵.
，从而
用定义，
容易验证
与
均为正
时，kA 为正交矩阵
，
2． 下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是（ ）。
【答案】C
【解析】C 项，第一个方程和第二个方程是矛盾方程.
若
方程组无解.
AB 两项，系数行列式不为零，方程组惟一解.
D 项，第一个方程+第二个方程=第三个方程. 第三个方程是多余方程. 显然
有
方程组有无穷多解.
则必
有
3． 设A 为4X5矩阵. 且A 的行向量组线性无关. 则（ ）.
A. .A的列向量组线性无关 B.
方程组C
方程组【答案】B
【解析】由题意知，方程组AX=b的行向量组线性无关，
则故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解.
4． 设A 是n 阶矩阵，
对于齐次线性方程组的解必是
是
的解
的解必是
的解
的解. 以上命题中正确的是（ ）。 A. （1） （2） B. （1） （4） C. （3） （4） D. （2） （3） 【答案】A 【解析】
若
可见命题（1）正确.
如果
若
代入，
得
由于
因此
而知必有
类似地用
.
而
那么对于向量
用
左乘可得
个n 维向量它们必然线性相关，两者
一方面有：
左乘上式的两边，并把
则
即若
是
的解，则
必是
的解，
而未知数的个数为5,
有无穷多解
的增广矩阵A 的任意四个列向量构成的向量组线性无关
D. A的任意4个列向量构成的向量组线件无关
和
的解不是
现有四个命题
的解
的解不
:线性无关. 但另一方面，
这是
矛盾.
故时，必有，
即的解必是的解. 因此命题（2）正确.
5． 已知A 是n 阶可逆矩阵，那么与A 有相同特征值的矩阵是（ ）。
A. B. C. D.
A
与
可得到
：
有相同的特征多项式，所以A 与
说明
【答案】A 【解析】
由于有相同的特征值.
由
与A 的特征值是不一样的（但A 的特征向量也是它们的特征向量）。
6． 设
是正交阵；
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由
得
其中
且有则结论是对称阵；是单位阵；
是可逆阵中正确的个数是（ ）。
成立
.
成立.
，故A 是正交阵
，
成立.
由知正交阵是可逆阵，
且成立.
7． 设三阶矩阵A 的特征值是0, 1, -1, 则下列命题中不正确的是（ ）。
A. 矩阵A-E 是不可逆矩阵 B. 矩阵A+E和对角矩阵相似
C. 矩阵A 属于1与-1的特征向量相互正交 D. 方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成 【答案】C
A 项，-1, 因此矩阵A-E 的特征值是-1, 0, -2.
由于【解析】因为矩阵A 的特征值是0, 1，矩阵A-E 的特征值，所以A-E 不可逆.
B 项，因为矩阵A+E的特征值是1, 2, 0, 矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似
对角化（或由
而知A+E可相似对角化）。
D 项，因为矩阵A 有三个不同的特征值，知
因此
从而齐次方程组Ax=0
的基础解系由
个解向量构成.
是
C 项，若A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
二、填空题
8． 设A 是4×3矩阵.
且
【答案】2 【解析】
逆，则
有
而•
则=_____
故由R （B ）=3知矩阵B 可