2018年甘肃农业大学动物科学技术学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1．
齐次方程组
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】齐次方程组（3
）解向量个数为
的基础解系有3层含义：（1）齐次方程组的解；（2）线性无关；
那
么
即解向量个数应为2, 故要排除.D 项，因
为
中必有一个不是解，
从解的角度来分析易见
2． 设A , B 均n 阶实对称矩阵，若A 与B 合同，则（ ）。
A.A 与B 有相同的特征值 B.A 与B 有相同的秩 C.A 与B 有相同的特征向量 D.A 与B 有相同的行列式 【答案】B
【解析】B 项，按定义，若存在可逆矩阵C
使故有
ACD 三项，
令
此时A 的特征值是1, 1, B 的特征值是1, 4
; |A|=1, |B|=4亦不相同.
则有
即A 与B 合同.
则称A 与B 合同. 因为矩阵C 可逆，
肯定是解. 那
么不是方程组的解.
的基础解系是（ ）。
B 项，两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除.D 项，由
于
是A 的特征向量，但不是B 的特征向量；
3． 某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为自由变量若取为
那么，正确的共有（
）。
A.1
个 B.2个 C.3
个 D.4个
【答案】B
【解析】因为系数矩阵的秩由于去掉是自由变量. 同理
因为行列式
4
． 设A 是nP
介矩阵，
P 是n 阶可逆矩阵，n 维列向量是矩阵A 的属于特征值的特征向量，那么在下列矩阵中：
肯定是其特征向量的矩阵共有（ ）。 A.1
个
B.2个 C.3
个 D.4
个 【答案】B
【解析】关于（1）
,
由
于特征值
的特征向量.
知
必是矩阵
属于特征值
有
即必是
属
有：
故应当有
2个自由变量.
因为其秩与
不相等，故
不
两列之后
，所剩三阶矩阵为不能是自由变量.
与
都不为0, 因此
与均可以是自由变量.
关于（4
）, 又
的特征向量
.
关于（2）和（
3）则不一定成立
. 这是因为按定义，
矩阵
线性方程组即不一定是
的特征向量.
由于
与不一定共线，
因此
不一定还是
的特征向量是
与
的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的.
不一定同解，所以不一定是第二个方程组的解，
5．
设
A.A=1时，B 的秩必为2 B.A=1时，B 的秩必为
1
时，B 的秩必为1
时，B 的秩必为2
【答案】C
【解析】当A=1时，
易见秩当
时，由于
知
那么当
时
是
B 是4X2的非零矩阵，且AB=0，则（ ）。
由于AB=0, A是3X4矩阵，
有
4×2矩阵，所以B 的秩可能为1也可能为2;
当 时，r （A ） =3,
所以必有
6．
设是四阶矩阵，为A 的伴随矩阵，若是方程Ax=0的一个基础解系，则
A.
B.
C.
D. 【答案】D
都为
的基础解系可为（ ）。
【解析】由伴随矩阵性质知
，
的解. 又r （A ）=3.
从而
又Ax=0有非零解，故|A|=0,
即
故
即
的基础解系的秩为3. 又由条
件知
，
即线性相关.
从而
，
7． 设n
阶矩阵
A.0 B.2
C.
D.
【答案】A
线性无关且为的基础解系.
若行列式
则
=（ ）。
【解析】
由已知条件知
将的各列加到第一列得
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