2018年新疆师范大学数学科学学院858数学基础[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
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即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1
，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得
AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ）求
【答案】（Ⅰ）由
为任意常数.
矩
阵A 满
足AB=0, 其中
为标准形，并写出所用正交变换
；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重），
根据值是0, 0, 6.
设有
的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知，
是矩阵A
的特征
故知矩阵A 有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
解出
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对正交化，
令则
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
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