2017年湖南师范大学世界地理之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线性无关。
2． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
第 2 页，共 37 页
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，即
，分离变量得，
。 ，积分
得
，即通解
为
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
，两端积分
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
，分离变量，得，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
第 3 页，共 37 页
即
3． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
函数取得极大值函数取得极小值
且
得
可
即
知
或写成
，故原方程的通解为
。
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
4． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
2
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
，
，故有微分方
程
，分离变
量
，且由，积分
得
二、计算题
5． 在R 、L 、C 含源串联电路中，电动势为E 的电源对电容器C 充电，已知
，L=0.1H（亨），R=1000Ω，试求合上开关K 后的电流i （t ）及电压u c （t ）（微法）。
【答案】由回路定律知件，
故微分方程
为
解得
因
可令
是原方程的特解，代入方程，得
代入初始条件，
有
即
第 4 页，共 37 页
即
已知
且依题意，有初始条
其对应的齐次方程的特征方程
为
即
故方程的通解为
又
相关内容
相关标签