2017年湖南师范大学高等数学之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为 2． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
求
。 两个区域，
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
当
时，有
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
3． 设函数
【答案】由
，其中F 有二阶连续偏导数，求
可得
。
4． 设
【答案】由于
，
为可微函数，求，令
。
，则将其代入原式得
则
则
二、计算题
5． 把对坐标的曲面积分
化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于
在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。
取上侧，故在任一点处的单位法向量为
于是
（2）由于
取上侧，故在其上任一点
处的单位法向量为
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