2017年华中师范高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
满足
求f （u ）的表达式。
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因 3． 设求
。
【答案】综合题中所给条件，可得
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与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2。
，其中f 有一阶连续偏导数，
4． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入（s ）。
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，代入初始条件：t=0，h=0，得
二、计算题
5． 已知两点
【答案】
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（0，1，2）和（1，﹣1，0）. 试用坐标表示式表示向量及.
=（1，﹣0，﹣1﹣1，0﹣2）=（1，﹣2，﹣2）
=﹣2（1，﹣2，﹣2）=（﹣2，4，4）
6． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】由
, 得
, 故
由（2）令
, 得
, 于是所求的解为, 解得
,
,
即
, 解得k=4, 即得刹车加速度
为
的t 值; 的k 值。
, 满足条件
的解;
（3）根据题意,
当
。
7． 计算闭区域。
，其中是由曲面，平面和所围成的
【答案】如图所示，几可用不等式表示为
因此
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