2017年湖南师范大学高等数学之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
2． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
分成四个区域：
，其中
，
表示不超过
的最
即
故
3． 设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正 比（比例系数为k l ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用. 求质点运动的速 度与时间的函数关系.
【答案】依题意，有将方程改写成
，则
由t=0, v=0得
，故速度与时间的关系为
满足
求f （u ）的表达式。
即
4． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
的表达式为
可知，这是一个二阶常用系数线性
为任意常数。
其中
代入，可得
为为任意常数。
二、计算题
5． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域
，于是
（2）在极坐标系中，积分区域
，于是
及直
线
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是