2017年厦门大学电子工程系820量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
2． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
3． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
4． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
5．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
6． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
的对易关系.
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
7． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
问是否
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
8． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
9． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。
10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
二、计算题
11．粒子在势场作【
答
案
】
利
用
波
函
数
的
由重新代入
得：
表达式，得：
表象中给出
的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本
算符也为厄米算符。可知，
表象
归
一
化
公
式
中运动，其中
试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取
故基态能量的上限为：
12．已知征值。 【答案】中，
算符，在
表示力学量，因而是厄密算符，因此，
i 算符的本征值均为±1。有：
当设
时，
本征函数为表象中表示为
时，本征函数为
因此有：
由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，
又
由此有a=c=0, 则再由由
可得：
代入得：
取b=l，可得：
由
分别代回本征方程
同理可得，
的本征值为±1，相应的本征函数为：
13．二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
可知其相应的本征函数为：
）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
14．两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子；