2017年厦门大学能源学院820量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。
2． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
3． 写出泡利矩阵。 【答案】
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
的物理含义是什
4． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：
5． 波函数
圆偏光选择定则：
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
6． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
7． 已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
10．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
二、计算题
11．对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.
【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为
S 为自旋波函数. 可分离变量得
最终解得
代表例子自旋朝上和朝下两种状态.
由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故
粒子能量基态：对应波函数为：
例子第一激发态能量：对应波函数有：
第二激发态能量：对应波函数有：
12．自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场
中，设t=0
（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出
的状态，即
在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：
解得:于是，有：
由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：
（2）因为
所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计