2017年华东交通大学理学院706高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
则线性方程组（ ）•
线性无关.
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 3． 设
A. 若B. 若C. 若
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关.
D. 若【答案】A
线性无关，则线性无关.
则
线性无关，
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 设P 为数域，M 为形如
的循环矩阵的集合，则M 为【答案】易知M 为
的子空间，并求其的维数和一组基.
的子空间（证明略）. 设
显然是M 中线性无关的向量. 因为
所以综上所述，
是M 的生成元.
是M 的基，dimV=m.
为由0及K 上次数小于n 的全体多项
7． 设K[x]为数域K 上全体多项式作成的线性空间，式作成的n 维空间，问：以下的并给出一基：
对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？
；
（f 为K 上一给定多项式）
及K 上仅含偶次项的多项式!.
【答案】多项式
都属于
于是又若于是
是k 上n —1维线性空间，即若
则
且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意
，则
因此，
是K 上无限维线性空间，而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）
.
为其一基（扩
作成线性空间显然. 而且类似d 易知，是无限维线性空间，又
大的基的概念）.
8． 对任意非负整数n ，令
【答案】因为多项式且
即f （x ）的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然. 又显然K 上
且线性无关：因为若
则即的
作成K 上线性空间显然，它是
维子空间
.
的一个子空间，又显然若
则K 即零空间，
中每个多项式都可由
线性表示，因此，
证明
的两个根是3次单位虚根