2017年华东理工大学理学院817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 2． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
3． 设行列式
=（ ）.
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 二、分析计算题 6． 设V 是数域P 上n 维线性空间，T 是V 的线性变换. 证明：存在V 的线性变换S , 使得 【答案】设T 的秩为r , 则T 的零度为 由 的基 对于V 中的n 个向量 在 中取基 而T 的秩为r ，故’ 将其扩充成V 的基线性无关，将其扩充成V 存在唯一的线性变换S ，使 下证TST=T, 只要证它们在（7—4）下的像皆相同即可，事实上 7． 设A 为n 阶方阵. 证明： 【答案】证法I 齐次线性方程组任一解， 即 则必 因若 的解显然是 设 再用 乘上式，又得 如此下去，即得 线性无关，矛盾. 因此必 同解. 于是由上题知（3）成立. 其中 为n 阶单位方阵。因此存在 同解. 的解是的解，即 的解. 反之，设 . 因此， 都同解. 再由上题即得（3）. 则 便是 的解，从 同解. 如此下 使 于是由上题知，又显然而由上知也是去， 即知 的解反之，设 的 这说明n+1个n 元（列）向量与 同解. 同理可证 证法II 因为A 是n 阶方阵，故