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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

则线性方程组（ ）•

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

5． 设则3条直线

（其中

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

）交于一点的充要条件是（ ）

.

由秩A=2, 可知可由

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

二、分析计算题

6． 令A 是复数域上一个n 级方阵.

（1）证明：A 相似于一个上三角阵； （2）令

是A 的特征多项式，证明：

（不许用哈密尔顿一凯莱定理）证

【答案】（1）设A 的Jordan 标准形为

其中

由于

为上三角阵，从而J 为上三角阵，所以

（2）设其中由①式有

为A 的特征多项式，且

互异，那么