2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数
?
【答案】（1）为偶数。 （2
）
，因
为
，所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。
（3）（4）（5）
因为
，因为
，所以f （x ）为奇函数。
，因为
且
所以f （x ）既非偶函数又非奇函数。 （6）
，因为
，所以f （x ）为偶函数。
所以f （x ）为偶函数。
且
，因为
，所以f （x ）
2． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
3． 求曲面
【答案】令在点即
法线方程为
4． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
（k 为正整数）。
处的一个法向量为
在点
处的切平面及法线方程。 ，则曲面在点
处的一个法向量
，故曲面在该点处的切平面方程
5． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
6． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
7．
设星形线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
，
上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在
原点0处有一单位质点，求星形线的第一象限的弧段对这质点的引力。
【答案】取参数t 为积分变量，变化范围为[0，π/2]，对应区间[t，t+dt]的弧长为
该弧段质量为
该弧段与质点的引力大小为
因此曲线弧对这质点引力的水平方向分量、铅直方向分量分别为
因此所求引力
，即大小为
，方向角为。
8． 己知某曲线经过点（l ，l ），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
【答案】设（x ，y ）为曲线上的点，则曲线在该点处的切线方程为轴上的截距为
将上述方程与成
并依题意，有
可解得
9． 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积:
（1）D
是由曲线域;
切线在纵
所围成的第一象限部分的闭区