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一、解答题

1．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

2．

设矩阵

求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】

令

即

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令

3．

设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，

线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，

则有及得

此时，

原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为

非齐次方程的特解为

故其通解为k 为任意常

数.

4． 已知A 是3阶矩阵

，

是3维线性无关列向量，且

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;

（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：

（Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

令

记

因

则有

线性无关，故P 可逆.

即A 与B 相似.

（Ⅱ

）由

A 的特征值为-1, -1，-1.

对于矩阵B ，

由

得

所以

可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵

得特征向量

那么由：

即

是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1

的所有特征向量是

全为0.

（Ⅲ

）由

知

故

芄中

不

二、计算题

5． 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵；

【答案】（1）先求特征值：

所以A 的特征值为