2018年对外经济贸易大学396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
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则P 可逆
，
且
2．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
又由
得
因与
可知综上可知
，
3
． 已知
且
有
即故
都是
的解.
由
线性无关
.
由
是
得的基础解系
.
.
求
那么
【答案】由题意知
又又
知
即 4． 设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A 相似于矩阵
得
故
知
故
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【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A
的特征值为
（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2
）
所以A
的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
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