2018年对外经济贸易大学保险学院396经济类联考综合能力[专业学位]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£
；的所有矩阵为其中为任意常数.
2． 已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵
A 有2
个线性无关的特征向量，
矩阵
A 可以相似对角化
，
因此矩阵A 和B 不相似。
3． 已知二次型的秩为2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：
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当时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为：
. 令X=Qy
, 则
4．
证明n 阶矩阵与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A
的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以
B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1重特征值
对于n-1重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步