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一、解答题

1．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

2． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

3． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

线性无关.

令

非零可知，是A 的个

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

即

所以

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故

4

． 设三维列向量组

（Ⅱ）

当

线性无关，列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示；

（Ⅰ）证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时，

求出所有非零列向量

构成的向量组一定线性相关

，故存在一组不

即，

线性无关

，故

不全为0

,

则

线性表示.

所有非零解，即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：

即存在非零列向量

不全为

0.

使得可同时由向量组

【答案】（

Ⅰ）由于

4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记和向量组向量

使得

线性无关；

向量组

（Ⅱ）易知，

求出齐次线性方程组下面将方程组

于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.

因此，所有非零列向量

所有非零解_

t 为任

二、计算题

5． 设

问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式