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一、计算题

1． 一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图1（a ）所示，为提高其承压能力而在长度中央增设旁撑 （图b ），使其在该处不能横移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式，并计算加固前、后临界力的比值。

图

1

图2

【答案】对于图1（b ）在微弯状态下保持平衡，其挠曲线由AB 、BC 两部分组成，建立坐标系，如图2所示。

建立各段挠曲线微分方程: BC 段:

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AB 段:令

，以上两式可变形为:

以上两式通解及一阶导分别为:

对于式②，由边界条件

可得：

对于式①，由边界条

件数

:

且有:

变形连续性条件:

代入各一阶导方程中得:

联立式③④⑤构成齐次方程组，要使零，即:

有非零解，则必须使上述方程组的系数行列式为

可确定积分常

整理得:

该方程的最小非零解:由

得该压杆的临界压力:

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加固前该压杆的临界压力:加固前后临界力的比值:

2． 曲拐受力如图所示，其圆杆部分的直径d=50mm。试画出表示A 点处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。

图1

【答案】A 点处横截面的剪力，弯矩和扭矩分别为:

则A 点处横截面上的应力:

则该点单元体的应力状态，如图2所示。

图2

根据主应力计算公式可得:

故该点的主应力为; 最大切应力为:

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