2016年中国海洋大学海洋与大气学院基础综合之高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2m ，求闸门上所受的水压力。
，则p （x ）=1000gx，取x 为积分变量，则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p （x ）范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x，x+dx]，压力为
，因此
闸门上所受水压力为
2． 直径为20cm ，高为80cm 的圆筒内充满压强为10N/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
【答案】由条件的压强为p （h ）N/m，则
2,
为常数，故
，压力为
。设圆筒内高度减少hm 时蒸汽
，因此做的功为
3． 求点M （4，﹣3，5）到各坐标轴的距离.
【答案】点M 到x 轴的距
离
，点M 到z 轴的距离
，点M 到y 轴的距
离
的速度向量
4． 下列各题中，r=f（t ）是空间中的质点M 在时刻t 的位置，求质点M 在时刻和加逸度向量， 以及在任意时刻t 的速率.
【答案】（1）速度向量加速度向量速率
（2）速度向量加速度向量速率
；
；
。
；
；
（3）速度向量加速度向量速率
5． 求下列各极限：
【答案】
。
； ；
6． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
22
（1）y=x，x=y，绕y 轴；
（2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
二、证明题
7． 设
【答案】 8． 设
【答案】取函数（0）=0,
,
由罗尔定理知至少存在一点在（0, l ）内至少有一个零点。
,
使
,
即多项式
, 证明多项式
在
内至少有一个零点。
, F （x ）在[0, l]上连续, 在（0, l ）内可导且F
，求
。
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