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一、计算题

1．

设

（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：

【答案】（1）由题意得

由

，得

（2）令

故

即g （x ）满足微分方程①，又

故g （x ）也满足初始条件②。 因此

2． 试决

【答案】

令当当当

, 得

。

时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在

上是凹的; 上是凹的,

，即

。

其中a , b 为常数，又

设

中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。

时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;

从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。 由

知过点（一1, 4k ）的法线方程为

要使该法线过原点, 则（0, 0）应满足这方程, 将x=0, y=0代入上式, 得

3． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.

【答案】

4． 求下列函数的n 阶导数：

【

答

案

】

（

1

（2）由

知

5． 设质量为100kg 的物体从点

【答案】

6． 设函数

为了使函数f （x ）在x=1处连续且可导，a 、b 应取什么值? 【答案】要使函数f （x ）在x=l处连续，应有要函数f （x ）在x=1处可导，应有

。而

）

（3, 1, 8）沿直线移动到点

，计算重力所作的功（1, 4, 2）

（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.

，即1=a+b。

故a=2，b=-1

二、证明题

7． 设

【答案】

8． 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:

【答案】（l ）取函数当n>1时

,

, 恒有

, , 因

此

, 即

（2）取函数因

此

, 即

（3）取函数

内图形是凹的, 故对任

何

亦即

, ,

内图形是凹的, 故对任

何

,

, 恒

有

,

, 因此

在,

即

。恒

有

,

, 内图形是凹的, 故对任

何

，求

。