2016年清华大学经济管理学院846运筹学考研导师圈定必考题汇编及答案
● 摘要
一、填空题
1． 若P （k ）是f （x ）在x （K ）处的下降方向，则满足_。 【答案】
【解析】若存在实数
均有
，使对于任意的
，就称方向
）为
均有下式成立:
点的一个下降方向。
2． 当极大化线性规划模型达到最优时。某非基变量x j 的检验数为马. 当价格系数为c j 的变化量为△c j 时，原 线性规划问题最优解保持不变的条件是_____。 【答案】
，极大化
【解析】x j 为非基变量，其价格系数变化△c j 后，其检验数变为
二、选择题
3． 在产销平衡运输问题中，设产地有m 个，销地有n 个。如果用最小元素法求最优解，那么基变量的个数 为（ ）。 A. 不能大于（m+n-1） B. 不能小于（m+n-l） C. 等于（m+n-l） D. 不确定 【答案】A
【解析】在运输问题中，其自变量的个数是m ×n ，约束方程有m+n个，但是对于产销平衡问题，有以下关系式存在:
。故，模型最多只有m+n﹣1个独立方程，由
此得运输问题最多有m+n﹣1个基变量。当出现退化解时，基变量小于m+n﹣1个。
4． 根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必然是（ ）。 A. 不能确定 B.<0 C.=0 D.>0
【答案】D
【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越高，说明该资源在系 统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价 格必然大于0。
三、计算题
5． 试解二次规划
【答案】上述二次规划问题可改写为下列形式:
显然，目标函数为严格凸函数，并且
因为c 1，c 2小于0，引入人工变量z 1，z 2并在前面取负号，得到如下的线性规划模型:
解之得:
于是，
6． 己知线性整数规划:
相应伴随规划的最优解为:x 1=l，
最优单纯形表为:
表
（l ）对x 2进行分枝，写出相应的分枝规划（不要求求解）; （2）由最优单纯形表的第二个方程推导出割平面方程。
【答案】（1）对x 2进行分枝，将原问题分成B 1、B 2，其中B 1中，定x 2=l，再根据约束条件得出x l 的值，并计算目标函数值z 1; B 1中，定x 2=2，同样根据约束条件得出x 1的值，计算z 2; 2）比较二者大小，选择较优者，若满足 整数条件则停止分支; 否则再继续对x l 进行分支。 （2）第二个方程是:x l 一l/7u1+2/7u2=l，化为x l 一u 1=l一（6/7ul +2/7u2） 最终得割平面方程一6u 1一2u 2+u3=7。
7． 某工厂计划生产甲、乙、丙3种产品，各产品需要在设备A 、B 、C 上进行加工，其所需加工小时数、 设备的有效台时和单位产品的利润表所示。
表
请回答下面三个问题:
（l ）如何安排生产计划，可使工厂获得最大利润?
（2）若每月可租用其他工厂的A 设备360台时，租金200万元，问是否租用这种设备? 若租用. 能为企业带 来多少收益?
（3）若另外有一种产品，它需要设备A 、B 、C 的台时数分别为为2、1、4，单位产品利润为4万元，假 定各设备的有效台时数不变，投产这种产品在经济上是否合算? 【答案】（l ）设生产甲、乙、丙三种产品各为x l ，x 2，x 3单位. ，则由题意得
加入松弛变量后，利用单纯形法计算如下: