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一、计算题

1． 设

是

（1）计算（2）计算

并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态

试证该态与的方向无关，即由不同得到

方向的单位矢量，在表象中

，

（3

）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴

（2）设的本征值为，本征矢为

则:

解久期方程将

，可得：

分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：

与对应的本征矢为：

表示为：

（3）利用矩阵直积的知识，可将

因此，对任意

倍。得证

得到的与态只相差

2． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：

二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：

3． 已知（1）利用（2）求

在

的本征态

在

是泡利矩阵，表象中的表达式，求

在

可由

的本征态经绕x 轴转动

表象中的本征态矢

试由此

角的坐标变换而得，即

表象的表达式，并与（1）所得结果比较。

【答案】（1）易知：

设

本征矢

则

即

（2）由题意可得：

同理，可得：

可见，两种方法得到的本征态相同。

4． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

5． 已知

则

分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，

证明

是

的本征态，并就

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

其中C 为归一化常数。 为电子的总角动量。（

）

的共同本征态为相应的本征值。 【答案】

两种情况分别求出其