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一、计算题

1． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

很容易求得

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

的本征值与本征矢：

（2）

的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中

故

是

的本征态.

的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

的本征值为±1，说

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

的本征方程

2． 设已知在，值为

的共同表象中，算符的矩阵分别为试在取

的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.

设

的本征态矢为

则由

【答案】可能取得的值有可以解得同理由

为

3． 对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级

和波函数

可以解得

概率为

时态矢为

概率为

态矢

平均值为

（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。

的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的

【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）

基态：

空间部分波函数是对称的

：自旋部分波函数是反对称的：

总波函数：

（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数：

基态不简并，第一激发态是四重简并的。

4． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，因此有：

同理可得：

的本征态

所以在

态中测量

的几率为：

5． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：