2017年暨南大学计算物理;量子力学;热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库
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2017年暨南大学计算物理; 量子力学; 热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库（一） . .. 2 2017年暨南大学计算物理; 量子力学; 热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库（二） . 12 2017年暨南大学计算物理; 量子力学; 热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库（三） . 22 2017年暨南大学计算物理; 量子力学; 热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库（四） . 33 2017年暨南大学计算物理; 量子力学; 热力学与统计物理之量子力学考研复试核心题库（五） . 41
一、计算题
1． 取上表达式中
为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场
均为常数，且
利用波函数的归一化
由
可得，
代入可得基态能量
2． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。
从而
中的基态能量. 以
【答案】试探波函数
图
【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为式中
此即所求表达式.
【积分未完成】
3． —自旋中的矩阵为
的粒子的哈密顿算符
为实常数。
其中，，在表象
（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数
确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求
和
的几率。 时波函数为
已知时，
（2）同时考虑空间运动和自旋运动，已知
是的本征值
与自旋的平均值：【答案】（1
）
本征方程
为
其中
及能量£
、动量
的本征函数，求任意时刻的波函数
若
设
即需
解
方程有非零解，则必有
可得：
因此：
任意时刻，因为
时刻，
且：
故：
的几率为：
的几率为：（2）容易证明，
时刻，粒子的空间波函数为
的本征态，对应本征值为
因此：
故：
4． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场S 沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场
中的势能表示
；
这里
为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：（2）假设（3）求
时，电子自旋指向x 轴正向，即时，电子自旋指向y 轴负向，即
求
时，自旋的平均值。
的几率是多少？
【答案】（1）忽略电子轨道运动，其中，所以哈密顿为：薛定谔方程为：（2）在
是玻尔磁子。
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
其中，设
因此可得：
时，电子的自旋指向x 轴正向，对应波函数为