2017年华东师范大学金融与统计学院817高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算时针方向。
【答案】取平面
的上侧，如下图所示，则其法线方向的方向余弦为
积分曲线在xOy 平面上的投影为椭圆
，即
由斯托克斯公式得
，曲线
，的方向由x 轴的正向看是逆
图
2． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
3． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，
代入上式得
4． 求由曲线
及所围图形公共部分的面积。
解得交点坐标为
，注意到
，
【答案】首先求出两曲线的交点，联立方程当θ=0时
，当
时
，故两曲线分别过（0, 0）和
及都过极点，因此所求面积为
图
5． 把对坐标的曲线积分
2
化成对弧长的曲线积分，其中L 为:
（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）; （2）沿抛物线y=x，从点（0，o ）到点（1，l ）; （3）沿上半圆周
从点（0，0）到点（l ，l ）。
【答案】（l ）L 为从点（0，0）到（1，l ）的有向线段，其上任一点处的切向量的方向余弦满足
于是
（2）L 由如下的参数方程给出：
x 由小到大地从0变到1，故L 的切向量为
，其方向余弦为
于是
（3）L 由如下的参数方程给出：量的方向余弦为
，x 由小到大地从0变到1，故L 的切向
于是
6． 已知函数序列
（1）问（2）证明
取多大，能使当
在
在任一有效区间[a, b]上一致收敛。
，因此对于正数ε，取
则
故
取
当
时，对一切
都有
即
7． 求曲线
在三个坐标面上的投影曲线的方程.
z
在
上一致收敛于0.
于是
则
上收敛于0.
时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？
【答案】（1）由于当
就有（2）记
【答案】
在
，即
中消，故
去，
得
为曲线在xOy 面上的投影曲线方程.
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