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2017年华东师范大学金融与统计学院817高等代数考研仿真模拟题

  摘要

一、计算题

1. 一球形行星的半径为R ,其质量为M ,其密度呈球对称分布,并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零,则行星中心的密度是多少?

【答案】设行星中心的密度为脚,则由题设,在距球心r (0≤r ≤R )处的密度为由于

,故

,即

于是

因此

2. 曲线

在点(2, 4, 5)处的切线对于x 轴的倾角是多少?

(2, 4)就是曲线在点(2, 4, 5)处的切线

,于是倾角

.

【答案】设z=f(x ,y ). 按偏导数的几何意义,对于x 轴的斜率,而

3. 计算下列极限:

(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)

(k 为正整数)。

,即

(3)(4)

4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:

【答案】(1)容易求出此级数的收敛半径为1,当

时,

在上式两端对x 求导得

又原级数在

处发散,故它的和函数

(2)不难求出此级数的收敛半径为1,当

时,

在上式两端分别从0至x 积分,并由于

又原级数在

处均发散,故它的和函数

(3)记级数为

其收敛半径为1,当

时,有

在上式两端分别从0至x 积分,并注意到

在x=0处收敛于0,故得

在x=0处收敛于0,故得

又原级数在有

其中

5. 利用格林公式,计算下列曲线积分:

(1

的三角形正向边界; (2

(3)由点(0, 0)到

(4)的一段弧。

【答案】(1)设D 为L 所围的三角形闭区域,则由格林公式,

(2)由于

故由格林公式得(3)由于

在xOy 面内具有一阶连续偏导数,且

故所给曲线积分与路径无关,于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ,其中O 为

处均匀发散,故它的和函数

时,

(4)容易求得此级数的收敛半径为1,收敛域

故原级数的和函数

其中L

为三顶点分别为

其中L 为正向星形

线

其中L 为在抛物线

的一段弧;

其中L 是在圆周

由点(0, 0)到点(1, 1)

R