2017年华东师范大学金融与统计学院817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1. 一球形行星的半径为R ,其质量为M ,其密度呈球对称分布,并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零,则行星中心的密度是多少?
【答案】设行星中心的密度为脚,则由题设,在距球心r (0≤r ≤R )处的密度为由于
,故
,即
于是
。
因此
2. 曲线
在点(2, 4, 5)处的切线对于x 轴的倾角是多少?
(2, 4)就是曲线在点(2, 4, 5)处的切线
,于是倾角
.
【答案】设z=f(x ,y ). 按偏导数的几何意义,对于x 轴的斜率,而
3. 计算下列极限:
(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)
(k 为正整数)。
,即
(3)(4)
4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:
【答案】(1)容易求出此级数的收敛半径为1,当
时,
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散,故它的和函数
(2)不难求出此级数的收敛半径为1,当
时,
有
在上式两端分别从0至x 积分,并由于
又原级数在
处均发散,故它的和函数
(3)记级数为
其收敛半径为1,当
时,有
在上式两端分别从0至x 积分,并注意到
在x=0处收敛于0,故得
在x=0处收敛于0,故得
又原级数在有
其中
5. 利用格林公式,计算下列曲线积分:
(1
)
的三角形正向边界; (2
)
(3)由点(0, 0)到
(4)的一段弧。
【答案】(1)设D 为L 所围的三角形闭区域,则由格林公式,
(2)由于
故由格林公式得(3)由于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数,且
故所给曲线积分与路径无关,于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ,其中O 为
处均匀发散,故它的和函数
当
当
时,
(4)容易求得此级数的收敛半径为1,收敛域
故原级数的和函数
其中L
为三顶点分别为
和
其中L 为正向星形
线
其中L 为在抛物线
的一段弧;
其中L 是在圆周
上
由点(0, 0)到点(1, 1)
R