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一、计算题

1． 求图（a ）所示结构的自振频率。

图

【答案】本题虽然有两个质量，但由于AB 杆刚度无穷大，只需要一个位移即可约束住所有质量的位移，因此是单自由度体系。然而多质量的单自由度体系不能用公式率，必须重新列振动微分方程。

现假设AB 杆的转角为弹簧，弹簧反力为衡方程：

将k

代入式中整理后得

其中a 前面的系数即为自振频率的平方，

因此

，则任意时刻的惯性力和位移图见图（b ）其中AB 杆上是分布质量，

最后在图（c ）中对A 点列力矩平

其惯性力应为三角形分布力。原结构可进一步化为图（c ）, 即将BC 和DE 杆组成的体系看作一个

弹簧刚度按图（d ）求解，得

计算自振频

2． 用位移法计算图（a ）所示结构，并作出M 图。EI 常数。

图

【答案】该结构为对称结构，承受反对称荷载作用，可取半结构计算。中间断开后加一竖向支杆变为可动铰支座，则体系有两个位移未知量。简化后的半结构及基本体系如图（b ）所示，绘

制

图、

图、

图如图（c ）〜（e ）所示。

根据平衡条件求得：

代入位移法基本方程，得

：绘制整个结构弯矩图如图所示。

3． 试导出桁架单元平衡矩阵与几何矩阵（局部坐标系）。

【答案】桁架结构为由直杆组成的一般具有三角形单元的平面或空间结构。在荷载作用下，桁架杆件主要承受轴向拉力或压力。采用方案

将轴力和弯矩图1所示：

弯矩

选为基本内力参数，如

图1

对于桁架单元，其弯矩

弯矩

均为0, 则其单元平衡矩阵方程为：

故其单元平衡矩阵为：

利用共轭关系可得，方案对应的单元几何平衡矩阵为：

采用方案将轴力和弯矩和剪力选为基本内力参数，如图2所示。