● 摘要
极限算子是一般拓扑学与模糊拓扑学中一个非常重要的概念,本文从一个集合上的极限算子出发来确定余拓扑与$L$-余拓扑,从而由极限算子诱导出两种空间：$varphi^*-$空间和$L^*-$空间.并在这两种空间上定义了闭包算子,内部算子,边界算子,导算子等概念,讨论了它们之间的关系.然后定义了$varphi^*-$空间之间的连续映射,开映射和闭映射,讨论了它们的一些性质并给出了一些等价刻画.定义了$varphi^*-$空间的子空间、有限积空间、连通$varphi^*-$空间等概念.
本文的要点和主要内容如下:
一、首先介绍极限算子的定义,研究了怎样用极限算子确定$Fracute{e}chet$余拓扑, $L^*-$空间和$varphi^*-$空间.然后在$varphi^*-$空间中引入了其他几种算子(内部算子,导算子,边界算子),并讨论了它们的性质.在某集合的全体极限算子所构成的集合上定义了偏序关系,并证明了全体极限算子所构成的集合带上所定义的偏序关系后能够构成一个交半格.
二、研究了$varphi^*-$空间之间的连续映射,闭映射以及开映射.首先定义了连续映射,给出了连续映射的等价刻画，以及粘合定理，同胚映射.其次研究了闭映射,给出了它的等价刻画以及它和连续映射之间的联系.最后研究了开映射,给出了它的等价刻画以及它和连续映射,闭映射之间的联系.
三、研究了$varphi^*-$空间的子空间和有限乘积空间.首先定义了某集合上的极限算子在其子集合上的限制,得到了子$varphi^*-$空间的定义以及它的一些性质.其次研究了有限乘积$varphi^*-$空间的定义,积空间中的$Fracute{e}chet$余拓扑,闭集,开集还有边界算子等和因子空间中相应概念之间的关系.
四、介绍了$varphi^*-$空间的连通性和分离性。首先给出了$varphi^*-$空间中连通子集的定义及其等价刻画.其次定义了连通分支的概念并讨论了它的一些性质.最后定义了$T_0,T_1,T_2$,给出了Frechet余拓扑是T_1的，在T_2条件下Frechet余拓扑是通常余拓扑.
五、在L^X上引入了极限算子.首先定义了模糊集合上的varphi^*-空间及L*-空间,由varphi*-空间中的极限算子可以导出$L^X$上的一个闭包算子,从而得到了X上的一个Frechet L-余拓扑;随后定义了X上的序列式$L-$余拓扑,讨论了FrechetL-余拓扑与序列式$L-$余拓扑的关系,得到了序列式$L$-余拓扑成为Frechet$$L-$余拓扑的一个充分必要条件.其次研究了其它算子和有关性质,以及它们和闭包算子的关系.再次在所有模糊极限算子所构成的集合上定义了偏序关系,定义了模糊极限算子之间的交和并运算;研究了各种算子全体之间的关系,给出了它们之间的蕴涵关系.对它们之间能够成立的蕴涵关系给出了证明,对于不成立的蕴涵关系分别给出了反例或者备注予以说明.
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