2018年宁夏大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
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2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（二）.... 9 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（三）.. 17 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（四）.. 24 2018年宁夏大学农学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题（五）.. 31
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
【答案】
（Ⅰ）由知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
3．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时，
此
时
A
有
二重特征
值
而
仅对应
1个线性无关的特征向量，故此时A
不可对角化.
4
． 设三阶方阵
A 、
B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵. 若
求行列
【答案】由矩阵知则. 可
逆. 又故即
所以即而
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